Question

16．已知，在△ABC中，AB=AC，D为AB边上一点，过点D作DF∥AC交BC于F，过F作FE∥AB交AC于E．
（1）如图1，当D为AB中点时，试判断四边形ADFE的形状；
（2）如图2，当∠BAC=120°时，延长DF到G，使DF=FG，连接AF、AG、EG、CG，当AG=EF，AB=6时，求CG的长．

Answer 1

分析 （1）先证明四边形ADFE为平行四边形，再由等腰三角形的性质和已知条件证出AD=DF，即可得出四边形ADFE为菱形；
（2）先证明四边形ADFE为平行四边形，得出DF=AE，证明四边形AFGE是矩形，得出∠FAE=∠AEG=∠AFG=90°，再由等腰三角形的性质和已知条件得出BD=DF=AE=2，AD=EC=4，在Rt△ADF中，由三角函数求出AF，得出EG，在Rt△GEC中，根据勾股定理即可求出CG的长．

解答 解：（1）四边形ADFE为菱形，理由如下：如图1所示：
∵DF∥AC，
∴∠DFB=∠C，
∵EF∥AB，
∴四边形ADFE为平行四边形，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠DFB=∠B，
∴DB=DF，
又∵D为AB中点，
∴DB=AD，
∴AD=DF，
∴四边形ADFE为菱形；
（2）如图2所示：∵DG∥AE，EF∥AD，
∴四边形ADFE为平行四边形，
∴DF=AE，
∵DF=FG，
∴FG=AE，
∴四边形AFGE为平行四边形，
又∵AG=EF，
∴四边形AFGE为矩形，
∴∠FAE=∠AEG=∠AFG=90°，
又∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠ABF=∠BAF=∠ACB=30°，
∴BD=DF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{3}$AB，
∵AB=6，
∴BD=DF=AE=2，AD=EC=4，
在Rt△ADF中，AF=AD•cos30°=2$\sqrt{3}$，
∴EG=2$\sqrt{3}$，
在Rt△GEC中，∠GEC=90°，根据勾股定理得：
CG=$\sqrt{C{E}^{2}+E{G}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了菱形的判定与性质、矩形的判定、勾股定理、三角函数、等腰三角形的性质；本题有一定难度，特别是（2）中，需要证明四边形是矩形，运用三角函数和勾股定理才能得出结果．