Question

如图，已知△ABC中，D、E、F分别是各边的中点，AF平分∠BAC．
（1）试证明四边形ADFE是菱形．
（2）△ABC满足什么条件时，四边形ADFE是正方形．

Answer 1

考点：正方形的判定,三角形中位线定理,菱形的判定

专题：

分析：（1）根据题意可得四边形ADFE是平行四边形，由AF平分∠BAC，得四边形ADFE是菱形；
（2）由（1）已经证明四边形ADFE是菱形，又有一角为直角的菱形是正方形，所以当△ABC是直角三角形时，四边形ADFE是正方形．

解答：解：∵DF∥CA，EF∥BA，
∴四边形ADFE是平行四边形；
∵AF平分∠BAC，
∴∠EAF=∠FAD，
∴∠FAD=∠AFD，
∴AD=DF，
∴四边形ADFE是菱形；

（2）当∠BAC=90°时，四边形ADFE是正方形．

点评：考查了菱形及正方形的判定，牢记菱形的三个判定定理及定义是解答本题的关键，难度一般．