Question

16．如图1，在正方形ABCD的外侧作两个等边三角形ADE和DCF，连结AF、BE．
（1）请判断：AF与BE的数量关系是AF=BE，位置关系是AF⊥BE；
（2）如图2，若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为“两个等腰三角形ADE和DCF，且EA=ED=FD=FC”，第（1）问中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予说明；
（3）若△ADE和DCF为一般三角形，且AE=DF，ED=FC，第（1）问中的结论都能成立吗？请在备用图中画出一个符合要求的示意图，同时写出你的判断，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定定理证明△BAE≌△ADF，根据全等三角形的性质进行证明；
（2）根据边边边定理、边角边定理证明三角形全等，根据全等三角形的性质解答；
（3）与（2）的证明方法相似，证明即可．

解答 （1）AF=BE；AF⊥BE．
证明：在△BAE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠ADF=150°}\\{AE=DF}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△ADF，
∴AF=BE，∠ABE=∠DAF．
∵∠DAF+∠BAF=90°，
∴∠ABE+∠BAF=90°，
∴∠AMB=90°，
∴BE⊥AF，
故答案为：AF=BE；AF⊥BE；

（2）第（1）问中的结论仍然成立，其理由是，
在正方形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD．
∵EA=ED=FD=FC，
在△AED和△DFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=DF}\\{AD=DC}\\{ED=CF}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△DFC，
∴∠EAD=∠FDC．
∴∠BAD+∠EAD=∠ADC+∠FDC．即∠BAE=∠ADF．
在△BAE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=AD}\\{∠BAE=∠ADF}\\{AE=DF}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△ADF，
∴BE=AF，
∴∠ABE=∠DAF．
∵∠DAF+∠BAF=90°，
∴∠ABE+∠BAF=90°，
∴∠AMB=90°，
∴BE⊥AF．

（3）所画图形如图3，
第（1）问的结论成立，其证明过程是：
在△AED和△DFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=DF}\\{AD=DC}\\{ED=CF}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△DFC，
∴∠EAD=∠FDC．
∴∠BAD+∠EAD=∠ADC+∠FDC．即∠BAE=∠ADF．
在△BAE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=AD}\\{∠BAE=∠ADF}\\{AE=DF}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△ADF，
∴BE=AF，
∴∠ABE=∠DAF．
∵∠DAF+∠BAF=90°，
∴∠ABE+∠BAF=90°，
∴∠AMB=90°，
∴BE⊥AF．

点评 本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．