Question

11．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=4，O为AC的中点，OE⊥OD交AB于点E．若AE=3，则OD的长为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 求出△DAO≌△EBO，推出OD=OE，AD=BE，求出AD=BE=1，由勾股定理得出DE²=DO²+OE²=AD²+AE²，求出即可．

解答 解：如图，连接DE，

∵∠ABC=90°，O为AC的中点，
∴∠CAB=∠ACB=45°，∠ABO=45°，AO=BO=CO，∠AOB=90°，
∵OE⊥OD，
∴∠DOE=∠AOB=90°，
∴∠DOA=∠BOE=90°-∠AOE，
∵AD∥BC，
∴∠DAB=180°-∠ABC=90°，
∴∠DAO=90°-45°=45°，
∴∠DAO=∠OBE，
在△DAO和△EBO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAO=∠EBO}\\{AO=BO}\\{∠DOA=∠BOE}\end{array}\right.$，
∴△DAO≌△EBO（ASA），
∴OD=OE，AD=BE，
∵AB=4，AE=3，
∴AD=BE=4-3=1，
在Rt△DAE和Rt△DOE中，由勾股定理得：DE²=DO²+OE²=AD²+AE²，
∴2DO²=1²+3²=10
∴DO=$\sqrt{5}$，
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了等腰直角三角形性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出OD=OE，AD=BE，题目比较好，难度适中．