Question

6．在矩形ABCD中，AB=6，AD=2$\sqrt{3}$，E是AB边上一点，AE=2，F是直线CD上一动点，将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A′，当点E、A′、C三点在一条直线上时，DF的长度为6+2$\sqrt{7}$或6-2$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 分两种情况：如图1，F是线段CD上一动点，如图2，F是DC延长线上一点，利用勾股定理求出CE，再证明CF=CE即可解决问题．

解答 解：如图1，F是线段CD上一动点，由翻折可知，∠FEA=∠FEA′，
∵CD∥AB，
∴∠CFE=∠AEF，
∴∠CFE=∠CEF，
∴CE=CF，
在Rt△BCE中，EC=$\sqrt{B{C}^{2}+E{B}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴CF=CE=2$\sqrt{7}$，
∵AB=CD=6，
∴DF=CD-CF=6-2$\sqrt{7}$，
如图2，F是DC延长线上一点，由翻折可知，∠FEA=∠FEA′，
∵CD∥AB，
∴∠CFE=∠AEF，
∴∠CFE=∠CEF，
∴CE=CF，
在Rt△BCE中，EC=$\sqrt{B{C}^{2}+E{B}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴CF=CE=2$\sqrt{7}$，
∵AB=CD=6，
∴DF=CD+CF=6+2$\sqrt{7}$，
故答案为6+2$\sqrt{7}$或6-2$\sqrt{7}$．

点评 本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，本题的突破点是证明△CFE的等腰三角形，属于中考常考题型．