Question

8．平面直角坐标系中，直线l₁：y=-$\frac{1}{2}$x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l₂：y=kx+2k与x轴交于点C，与直线l₁交于点P．
（1）当k=1时，求点P的坐标；
（2）如图1，点D为PA的中点，过点D作DE⊥x轴于E，交直线l₂于点F，若DF=2DE，求k的值；
（3）如图2，点P在第二象限内，PM⊥x轴于M，以PM为边向左作正方形PMNQ，NQ的延长线交直线l₁于点R，若PR=PC，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）解两个函数解析式组成的方程组即可求解；
（2）过点P作PG⊥DF于点G，易证△PDG≌△ADE，点P作PH⊥CA于点H，可以证明H是AC的中点，则H的坐标即可求得，进而求得P的坐标，进而求得k的值；
（3）Rt△PMC≌Rt△PQR，则RQ=MC，设NR=NC=a，则R（-a-2，a），代入y=-$\frac{1}{2}$x+3，求得a的值，设P（m，n），根据P在直线l₁上和RQ=MC即可列方程组求解．

解答 解：（1）当k=1时，直线l₂为y=x+2．
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y=-\frac{1}{2}x+3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{3}}\\{y=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴P（$\frac{2}{3}$，$\frac{8}{3}$）；
（2）当y=0时，kx+2k=0，
∵k≠0，
∴x=-2，
∴C（-2，0）则OC=2，
当y=0时，-$\frac{1}{2}$x+3=0，
∴x=6，
∴A（6，0），OA=6，
过点P作PG⊥DF于点G，
在△PDG和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PGD=∠AED}\\{∠PDG=∠ADE}\\{PD=AD}\end{array}\right.$，
∴△PDG≌△ADE，
得DE=DG=$\frac{1}{2}$DF，
∴PD=PF，
∴∠PFD=∠PDF
∵∠PFD+∠PCA=90°，∠PDF+∠PAC=90°
∴∠PCA=∠PAC，
∴PC=PA                                
过点P作PH⊥CA于点H，
∴CH=$\frac{1}{2}$CA=4，
∴OH=2，
当x=2时，y=-$\frac{1}{2}$×2+3=2代入y=kx+2k，得k=$\frac{1}{2}$；
（3）直角△PQR和直角△PMC中，
$\left\{\begin{array}{l}{PQ=PM}\\{PR=PC}\end{array}\right.$，
∴Rt△PMC≌Rt△PQR，
∴CM=RQ，
∴NR=NC，
设NR=NC=a，则R（-a-2，a），
代入y=-$\frac{1}{2}$x+3，
得-$\frac{1}{2}$（-a-2）+3=a，解得a=8，
设P（m，n），则$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}m+3=n}\\{-2-m=8-n}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{14}{3}}\\{n=\frac{16}{3}}\end{array}\right.$，
∴P（-$\frac{14}{3}$，$\frac{16}{3}$）．

点评 本题是一次函数和全等三角形的判定的综合应用，正确作出辅助线，构造全等的三角形，证明H是AC的中点是解决本题的关键．