Question

如图，PA=PB且PA⊥PB，QA=QC且QA⊥QC．
（1）若点M是BC的中点，求证：MP=MQ且MP⊥MQ．
（2）若PQ=10，请判断凹五边形BPAQC的面积是否为定值，并说明理由．

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）根据全等三角形的判定与性质，可得CD=PB=AP，∠MCD=∠B，根据全等三角形的判定与性质，可得DQ=PQ，∠DQC=∠PQA，根据等腰直角三角形的判定与性质，可得答案；
（2）根据面积的和差，可得S_凹五边形=S_{四边形PQCB}-S_△PAQ，根据根据等量代换，可得S_△MCD+S_△MPQ+S_△MCQ-S_△DCQ=S_{四边形PQCD}-S_△QCD，根据面积的和差，可得答案．

解答：解：如图：延长PM至点D，使MD=PM，连接DQ、DC．
（1）证明：在△PBM和△DCM中

PM=DM ∠PMB=∠DMC BM=CM

，
△PBM≌△DCM（SAS），
∴CD=PB=AP，∠MCD=∠B，
∴∠DCQ=∠MCD+∠BCQ=∠B+∠BCQ．
∵∠A=180°-（∠APQ+∠AQP）=180°-[360°-（∠APB+∠AQC+∠B+∠BCQ）]=∠B+∠BCQ，
∴∠DCQ=∠A．
在△DCQ和△PAQ中

DC=PA ∠DCQ=∠PAQ CQ=AQ

，
∴△DCQ≌△PAQ（SAS），
∴DQ=PQ，∠DQC=∠PQA，
∴∠PQD=∠PQA+∠AQD=∠DQC+∠AQD=90°，
∴△PQD是等腰直角三角形．
∵M是PD的中点，
∴△MPQ是等腰直角三角形，
∴MP=MQ，MP⊥MQ；
（2）凹五边形BPAQC的面积是定值，理由如下：
S_凹五边形=S_{四边形PQCB}-S_△PAQ
=S_△PMB+S_△MPQ+S_△MCQ-S_△PAQ
=S_△MCD+S_△MPQ+S_△MCQ-S_△DCQ
=S_{四边形PQCD}-S_△QCD
=S_△PQD=

1

2

PQ²=

1

2

×10²=50，
若PQ=10，请判断凹五边形BPAQC的面积是定值．

点评：本题考查了二次函数的应用，利用了全等三角形的判定与性质，直角三角形的判定与性质．