Question

要做20个矩形钢框，每个由2.2米和1.5米的钢材各两根组成，已知原钢材长4.6米，应如何下料，使用的原钢材最省？

Answer 1

分析：要做成20个矩形的钢框，就需要2.2米和1.5米的钢材各40根，先后列出表格表示出三种方案，列出数学模型后讨论即可得出最佳方案．

解答：解：要做成20个矩形的钢框，就需要2.2米和1.5米的钢材各40根．一种简单的想法是：在每一根原料上截取2.2米和1.5米的钢材各一根，这样每根原钢材剩下0.9米的料头，要做20个钢框，就要用原钢材40根，而剩下的料头总数为0.9×40=36米．
显然，上述想法，浪费材料，不太合理．因此，我们可以考虑合理套裁，就可以节省原料．下面有三种下料方案可供采用．

方案 每根下料数/根 长度/米	I	Ⅱ	Ⅲ
2.2	0	2	1	（共需40根）
1.5	3	0	1	（共需40根）
合计	4.5	4.4	3.7
料头	0.1	0.2	0.9

为了省料而得到20个钢框，需要混合使用各种下料方案，
设用第Ⅰ种方案下料的原材料根数为x₁；用第Ⅱ种方案下料的原材料根数为x₂；用第Ⅲ种方案下料的原材料根数为x₃．
所谓原材料最省，也就是使所剩下的料头总和最少，
为此根据表28.2的方案，可以列出以下的数学模型：y=0.1x₁+0.2x₂+0.9x₃，

2x2+x3= 40 3x1+x3=40

，
解之得：x₁=

40 -x3

3

，x₂=

40-x3

2

，
其中0≤x₃≤40．把x₁，x₂代入y得：y=

1

10

×

40-x3

3

+

2

10

×

40-x3

2

+

9

10

x3=

1

30

（160+23x₃），
可以看出，x₃越大，y的值也越大，所以x₃的取值应尽量小．
当x₃=0时，可取x₁=14，x₂=20；
当x₃=1时，x₁=13，x₂=20，都是用原材料34根；
料头的总数为：y=34×4.6-（2.2+1.5）×40=8.4（米）．
所以，原材料最省的下料方案是：按方案Ⅰ下料13（或14）根，用方案Ⅱ下料20根，用方案Ⅲ下料1（或0）根，这样只需34根原材料就可做出20个钢框．

点评：本题考查优选方案的知识，难度较大，关键是建立数学模型，然后讨论得出答案．