Question

16．如图，圆锥的底面半径为3m，母线长为6米，一只老鼠要从底面圆周长一点B出发，沿圆锥侧面爬到母线AB的轴截面上另一母线AC的中点D处，则它爬行的最短距离是3$\sqrt{5}$米．

Answer 1

分析 将圆锥的侧面展开，根据“两点之间线段最短”可得出蚂蚁爬行的最短路线及最短的路程．

解答 解：∵圆锥的侧面展开图是一个扇形，设该扇形的圆心角为n，
则：$\frac{nπr}{180}=6π$，其中r=6
∴n=180°，如图所示：

由题意可知，AB⊥AC，且点D为AC的中点，
在Rt△ABD中，AB=6，AD=3，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{5}$（米）
故蚂蚁沿线段BD爬行，路程最短，最短的路程是3$\sqrt{5}$米

点评 本题考查了平面展开-最短路径问题，用到的知识点：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．