Question

4．如图：Rt△ACB内接于⊙O，∠ABC=90°，∠ACB=30°，过A作⊙O的切线交CB延长线于P，∠APC的平分线交AB于F，交AC于E，若AF=3，则CE的长为6．

Answer 1

分析 由切线的性质可知∠CAP=90°，从而可得到∠APC=60°，然后可得到∠C=∠CPE与是又CE=EP，然后再证明∠AEF=∠EAF=60，∠PAB=∠APE=30°，可得到AF=EF=PF=3，故此CE=EP=6．

解答 解：∵AP是圆O的切线，
∴∠CAP=90°．
又∵∠ACB=30°，
∴∠APC=60°．
∵PF是∠APC的平分线，
∴∠APE=∠CPE=30°．
∴∠C=∠CPE，∠AEP=60°．
∴CE=EP．
∵AC是圆O的直径，
∴∠CBA=90°．
又∵∠ACB=30°，
∴∠BAC=60°．
∴∠PAB=30°，∠AEF=∠EAF=60．
∴∠PAB=∠APE=30°，AF=EF=3．
∴PF=AF=3．
∴EP=6．
∴CE=6．
故答案为：6．

点评 本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、三角形的内角和定理、等腰三角形的判定，证得AF=EF=PF、CE=EP是解题的关键．