已知直线l:y=kx+5k与x轴交于A点.抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$x2+1．(1)直接写出A点坐标,(2)直线l与抛物线y=$\frac{1}{4}$x2+1交于B.C两点.过B.C分别作x轴的垂线.垂足分别为M.N.求AM×AN的值,(3)P为抛物线上任一点.过P点作PQ⊥x轴.Q为垂足.以P为圆心.PQ为半径作圆.圆总会经过x轴上一定点D.求D到直线l� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．已知直线l：y=kx+5k（k≠0）与x轴交于A点，抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$x²+1．
（1）直接写出A点坐标；
（2）直线l与抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+1交于B、C两点，过B、C分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N，求AM×AN的值；
（3）P为抛物线上任一点，过P点作PQ⊥x轴，Q为垂足，以P为圆心，PQ为半径作圆，圆总会经过x轴上一定点D，求D到直线l的距离的最大值．

分析（1）令y=0，得kx+5k=0，解方程即可．
（2）由抛物线与直线方程得到$\frac{1}{4}$x²-kx+1-5k=0，根据根与系数的关系求得x_B+x_C=4k，x_B•x_C=5（1-4k），易得点A的坐标，所以AM•AN=（x_B+5）•（x_C+5），代入计算即可解决问题．
（3）如图2，设P（t，$\frac{1}{4}$t2+1），作PF⊥y轴于F，连PD．首先求出点D坐标，当DA⊥l时D到l的距离最大，利用勾股定理即可解决问题．

解答解：（1）令y=0，则kx+5k=0，
∵k≠0，
∴x=-5，
∴点A坐标（-5，0）．

（2）如图1，

由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+5k}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}+1}\end{array}\right.$，得 $\frac{1}{4}$x2-kx+1-5k=0，
∴x_B+x_C=4k，x_B•x_C=4（1-5k），
∵A（-5，0），
∴AM•AN=（x_B+5）•（x_C+5）=x_Bx_C+5（x_B+x_C）+25
=4（1-5k）+5×4k+25=29，
∴AM×AN的值为29．

（3）如图2，设P（t，$\frac{1}{4}$t2+1），作PF⊥y轴于F，连PD．

∴FD=$\sqrt{P{D}^{2}-P{F}^{2}}$=$\sqrt{P{Q}^{2}-P{F}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{1}{4}{t}^{2}+1）^{2}-{t}^{2}}$=$\frac{1}{4}$t2-1，
∴OD=OF-FD=$\frac{1}{4}$t2+1-（ $\frac{1}{4}$t2-1）=2，
∴D（0，2），AD=$\sqrt{{5}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{29}$．
∵直线l是绕点A旋转，d≤DA，
∴当DA⊥l时D到l的距离最大，
∴最大值是$\sqrt{29}$．