Question

20．如图，已知AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交AB于点F，交BC的延长线于点E，连接AE、DF．试说明：
（1）∠EAD=∠EDA；
（2）DF∥AC；
（3）∠B=∠CAE．

Answer 1

分析 （1）由线段垂直平分线的性质得出EA=ED，再由等边对等角即可得出∠EAD=∠EDA；
（2）由线段垂直平分线的性质得出FA=FD，得出∠FDA=∠FAD，再证出∠FDA=∠CAD，即可得出DF∥AC；
（3）由三角形的外角性质和（1）（2）的结果，即可得出结论．

解答 证明：（1）∵EF是AD的垂直平分线，
∴EA=ED，
∴∠EAD=∠EDA；
（2）∵EF是AD的垂直平分线，
∴FA=FD，
∴∠FDA=∠FAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAD=∠CAD，
∴∠FDA=∠CAD，
∴DF∥AC；
（3）由（1）（2）得：∠EAD=∠EDA，∠FAD=∠CAD，
又∵∠EDA=∠B+∠FAD，∠EAD=∠CAD+∠CAE，
∴∠B=∠CAE．

点评 本题考查了线段垂直平分线的性质、平行线的判定、角平分线的性质、等腰三角形的性质；熟练掌握线段垂直平分线的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．