Question

如图，⊙O1与⊙O2外切与点D，直线l与两圆分别相切于点A、B，与直线

O1、O2相交于点M，且tan∠AM01=，MD=4．

（1）求⊙O2的半径；

（2）求△ADB内切圆的面积；

（3）在直线l上是否存在点P，使△MO2P相似于△MDB？若存在，求出PO2的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）连结O1A、O2B，如图，设⊙O1的半径为r，⊙O2的半径为R，

∵⊙O1与⊙O2外切与点D，

∴直线O1O2过点D，

∴MO2=MD+O2D=4+R，

∵直线l与两圆分别相切于点A、B，

∴O1A⊥AB，O2B⊥AB，

∵tan∠AM01=，

∴∠AM01=30°，

在Rt△MBO2中，MO2=O2B=2R，

∴4+R=2R，解得R=4，

即⊙O2的半径为4；

（2）∵∠AM02=30°，

∴∠MO2B=60°，

而O2B=O2D，

∴△O2BD为等边三角形，

∴BD=O2B=4，∠DBO2=60°，

∴∠ABD=30°，

∵∠AM01=30°，

∴∠MO1A=60°，

而O1A=O1D，

∴∠O1AD=∠O1DA，

∴∠O1AD=∠MO1A=30°，

∴∠DAB=60°，

∴∠ADB=180°﹣30°﹣60°=90°，

在Rt△ABD中，AD=BD=4，AB=2AD=8，

∴△ADB内切圆的半径===2﹣2，

∴△ADB内切圆的面积=π•（2﹣2）2=（16﹣8）π；

（3）存在．

在Rt△MBO2中，MB=O2B=×4=12，

当△MO2P∽△MDB时，=，即=，解得O2P=8；

当△MO2P∽△MBD时，=，即=，解得O2P=8，

综上所述，满足条件的O2P的长为8或8．