Question

12．（1）探索：先观察并计算下列各式，在空白处填上“＞”、“＜”或“=”，并完成后面的问题．
$\sqrt{4}$×$\sqrt{16}$=$\sqrt{4×16}$，$\sqrt{49}$×$\sqrt{9}$=$\sqrt{49×9}$，$\sqrt{\frac{9}{25}}$×$\sqrt{25}$=$\sqrt{\frac{9}{25}×25}$，$\sqrt{\frac{16}{9}}$×$\sqrt{\frac{4}{25}}$=$\sqrt{\frac{16}{9}×\frac{4}{25}}$…
用$\sqrt{a}$，$\sqrt{b}$，$\sqrt{ab}$表示上述规律为：$\sqrt{a}$•$\sqrt{b}$=$\sqrt{ab}$（a≥0，b≥0）；
（2）利用（1）中的结论，求$\sqrt{8}$×$\sqrt{\frac{1}{2}}$的值
（3）设x=$\sqrt{3}$，y=$\sqrt{6}$试用含x，y的式子表示$\sqrt{54}$．

Answer 1

分析 （1）先求出每个式子的值，再比较即可；
（2）根据规律，把被开方数相乘，根指数不变，即可求出答案；
（3）先分解质因数，再根据规律得出$\sqrt{3}×\sqrt{3}×\sqrt{6}$，即可得出答案．

解答 解：（1）∵$\sqrt{4}$×$\sqrt{16}$=2×4=8，$\sqrt{4×16}$=$\sqrt{64}$=8，
∴$\sqrt{4}$×$\sqrt{16}$=$\sqrt{4×16}$，
$\sqrt{49}$×$\sqrt{9}$=$\sqrt{49×9}$，
$\sqrt{\frac{16}{9}}$×$\sqrt{\frac{4}{25}}$=$\sqrt{\frac{16}{9}×\frac{4}{25}}$
$\sqrt{a}$×$\sqrt{b}$=$\sqrt{ab}$，
故答案为：=，=，=，=，$\sqrt{a}$•$\sqrt{b}$=$\sqrt{ab}$（a≥0，b≥0）；

（2）$\sqrt{8}$×$\sqrt{\frac{1}{2}}$
=$\sqrt{8×\frac{1}{2}}$
=$\sqrt{4}$
=2；

（3）∵x=$\sqrt{3}$，y=$\sqrt{6}$，
∴$\sqrt{54}$=$\sqrt{3×3×6}$
=$\sqrt{3}×\sqrt{3}×\sqrt{6}$
=x•x•y
=x²y．

点评 本题考查了二次根式的乘除，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．