Question

4．如图，AB为⊙O直径，D为BC弧的中点，DE⊥AC于E，
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）已知：CE=2，DE=4，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）要证明DE是⊙O的切线只要证明OD⊥DE即可；
（2）证明四边形DECF是矩形得出CE=DF=2，CF=DE=4，设⊙O的半径为r，则OF=r-2，在Rt△OBF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 （1）证明：连接OD、BC交于点F，如图所示：
∵D为弧BC的中点，
∴OD⊥BC，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
又∵DE⊥AC，
∴∠CED=∠ECF=∠CFD=90°，
∴∠FDE=90°，即OD⊥DE，
又∵OD为⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵OD⊥BC，
∴BF=CF，
∵∠CED=∠ECF=∠CFD=90°，
∴四边形DECF是矩形，
∴CE=DF=2，CF=DE=4，
设⊙O的半径为r，则OF=r-2，
在Rt△OBF中，由勾股定理得：（r-2）²+4²=r²，
解得：r=5，
即⊙O的半径为5．

点评 本题考查了切线的判定、圆周角定理、矩形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握切线的判定，由勾股定理得出方程是解决问题（2）的关键．