Question

已知：△ABC内接正△DEF，AD=BF=CE，求证：△ABC为正三角形．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：分两种情况证明：如果AB、BC、CA中有两条边AB与AC相等，则AF=BD，证得△AFD≌△BDE，证得∠A=∠B，从而证得∠A=∠B=∠C，即可证得△ABC是等边三角形；若∠A、∠B、∠C各不相等，设∠A＞60°，∠B＜60°，在BA及延长线上分别取P、Q，使∠DPE=60°，∠AQF=60°，通过证得△PED≌△QDF，得出PE=DQ，因为BE＞PE，DQ＞AD，AD=BE，使假设不成立，故△ABC必为等边三角形；

解答：证明：如果AB、BC、CA中有两条边AB与AC相等，则AF=BD，
在△AFD与△BDE中

AF=BD BE=AD FD=DE

∴△AFD≌△BDE（SSS），
∴∠A=∠B，
∵AB=AC，
∴∠A=∠B=∠C，
∴△ABC是等边三角形；
若∠A、∠B、∠C各不相等，设∠A＞60°，∠B＜60°，在BA及延长线上分别取P、Q，使∠DPE=60°，∠AQF=60°，
∵∠ADF+∠FDE+∠EDP=180°，∠DPE+∠EDP+∠PED=180，∠DPE=∠EPF=60°，
∴∠PED=∠ADF，
在△PED与△QDF中

∠EPD=∠DQF ∠DEP=∠QDF DE=DF

∴△PED≌△QDF（AAS），
∴PE=DQ，
∵∠BPE=120°，
∴BE＞PE，
∵DQ＞AD，AD=BE，
∴不成立，
故△ABC必为等边三角形；

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，以及反证法的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．