Question

4．如图，△ABC三个顶点都在5×5的网格（每个小正方形的边长均为1单位长度）的格点上，将△ABC绕点C顺时针旋转到△A′B′C的位置，且A′、B′仍落在格点上，求线段AC扫过的扇形所围成的圆锥体的底面半径．

Answer 1

分析 先利用勾股定义得到AC=$\sqrt{13}$，利用网格特点得到∠BCB′=90°，再根据旋转的性质得∠ACA′=∠BCB′=90°，设圆锥体的底面半径为r，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到$\frac{1}{2}$•2π•r•$\sqrt{13}$=$\frac{90•π•（\sqrt{13}）^{2}}{360}$，再解关于r的方程即可．

解答 解：AC=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，∠BCB′=90°，
∵△ABC绕点C顺时针旋转到△A′B′C的位置，
∴∠ACA′=∠BCB′=90°，
设圆锥体的底面半径为r，
$\frac{1}{2}$•2π•r•$\sqrt{13}$=$\frac{90•π•（\sqrt{13}）^{2}}{360}$，解得r=$\frac{\sqrt{13}}{4}$．
答：线段AC扫过的扇形所围成的圆锥体的底面半径为$\frac{\sqrt{13}}{4}$

点评 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了旋转的性质．