Question

19．如图，正方形ABCD接于⊙O，延长BA到E，使AE=AB，连接ED．
（1）求证：直线ED是⊙O的切线；
（2）连接EO交AD于F，若⊙O的半径为2，求FO的长．

Answer 1

分析 （1）连接BD，则可知BD为直径，根据正方形的性质和已知条件可求得∠ADE=∠ODA=45°，可求得∠ODE=90°，可证得结论；
（2）由勾股定理可求得正方形的边长，则可求得AE和AD，则可求得DE，在Rt△ODE中可求得OE的长，作OM⊥AB于M，根据平行线分线段成比例定理可证得EF=2OF，则可求得OF的长．

解答 （1）证明：如图1，连接BD．

∵四边形ABCD为正方形，AE=AB．
∴AE=AB=AD，∠EAD=∠DAB=90°，
∴∠EDA=45°，∠ODA=45°，
∴∠ODE=∠ADE+∠ODA=90°，
∴直线ED是⊙O的切线；
（2）如图2，作OM⊥AB于M，

∵O为正方形的中心，
∴M为AB中点，
∴AE=AB=2AM，AF∥OM，
∴$\frac{EF}{FO}$=$\frac{EA}{AM}$=2，
∴EF=2FO，
∵⊙O的半径为2，
∴OD=2，BD=4，
∴AD=AE=$\frac{4}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴DE=4，
在Rt△ODE中，由勾股定理可得OE=$\sqrt{O{D}^{2}+D{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴OF=$\frac{1}{3}$OE=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$．

点评 本题主要考查切线的判定及正方形的性质，掌握切线的判定方法是解题的关键，注意两种辅助线的作法，而在（2）中求得EF=2OF是解题的关键．