Question

8．下面是按一定规律排列且形式相似的一列数：
第1个数：a₁=$\frac{1}{2}$-（1+$\frac{-1}{2}$）；
第2个数：a₂=$\frac{1}{2}$-（1+$\frac{-1}{2}$）[1+$\frac{（-1）^{2}}{3}$][1+$\frac{（-1）^{3}}{4}$]
第3个数：a₃=$\frac{1}{2}$-（1+$\frac{-1}{2}$）[1+$\frac{（-1）^{2}}{3}$][1+$\frac{（-1）^{3}}{4}$][1+$\frac{（-1）^{4}}{5}$[1+$\frac{（-1）^{5}}{6}$]
（1）计算这三个数的结果（直接写答案）：
a₁=0；a₂=0；a₃=0；
（2）请按上述规律写出第4个数a₄的形式并计算结果；
（3）请根据上述规律写出第n （n为正整数）个数a_n的形式（中间部分用省略号，两端部分必须写详细），然后直接写出计算结果．

Answer 1

分析 （1）直接计算这三个数的结果即可；
（2）仿照已知数列列式即可；
（3）根据题意得a_n=$\frac{1}{2}$-（1+$\frac{-1}{2}$）[1+$\frac{（-1）^{2}}{3}$][1+$\frac{（-1）^{3}}{4}$][1+$\frac{（-1）^{4}}{5}$[1+$\frac{（-1）^{5}}{6}$]•…•[1+$\frac{（-1）^{2n-2}}{2n-1}$][1+$\frac{（-1）^{2n-1}}{2n}$]=0．

解答 解：（1）a₁=$\frac{1}{2}$-（1+$\frac{-1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$-（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$-1+$\frac{1}{2}$=0，
a₂=$\frac{1}{2}$-（1-$\frac{1}{2}$）（1+$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$=0，
a₃=$\frac{1}{2}$-（1-$\frac{1}{2}$）（1+$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{4}$）（1+$\frac{1}{5}$）（1-$\frac{1}{6}$）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{6}{5}$×$\frac{5}{6}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$=0，
故答案为：0，0，0；

（2）a₄=$\frac{1}{2}$-（1+$\frac{-1}{2}$）[1+$\frac{（-1）^{2}}{3}$][1+$\frac{（-1）^{3}}{4}$][1+$\frac{（-1）^{4}}{5}$[1+$\frac{（-1）^{5}}{6}$][1+$\frac{（-1）^{6}}{7}$][1+$\frac{（-1）^{7}}{8}$]
=$\frac{1}{2}$-（1-$\frac{1}{2}$）（1+$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{4}$）（1+$\frac{1}{5}$）（1-$\frac{1}{6}$）（1+$\frac{1}{7}$）（1-$\frac{1}{7}$）
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{6}{5}$×$\frac{5}{6}$×$\frac{8}{7}$×$\frac{7}{8}$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$
=0；

（3）a_n=$\frac{1}{2}$-（1+$\frac{-1}{2}$）[1+$\frac{（-1）^{2}}{3}$][1+$\frac{（-1）^{3}}{4}$][1+$\frac{（-1）^{4}}{5}$[1+$\frac{（-1）^{5}}{6}$]•…•[1+$\frac{（-1）^{2n-2}}{2n-1}$][1+$\frac{（-1）^{2n-1}}{2n}$]=0．

点评 本题主要考查数字的变化规律及有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算顺序和法则及根据题意得出第n个等式是解题的关键．