Question

矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且△ADO为等边三角形，过点A作AE⊥BD于点E．
（1）求∠ABD度数；
（2）若BD=10，求AE的长．

Answer 1

分析：（1）根据矩形性质得出∠DAB=90°，求出∠ADB=60°，代入∠ABD=180°-∠DAB-∠ADB求出即可；
（2）求出AD，根据等腰三角形性质得出DE=EO，求出DE，根据勾股定理求出即可．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，
∵△ADO为等边三角形，
∴∠ADB=60°，
∴∠ABD=180°-∠DAB-∠ADB=30°；

（2）∵BD=10，∠BAD=90°，∠ABD=30°，
∴AD=

1

2

BD=5，
∵△ADO为等边三角形，
∴AB=AO=DO=5，
∵AE⊥DO，
∴DE=EO=

1

2

DO=2.5，
在Rt△AED中，由勾股定理得：AE=

AD2-DE2

=

52-2．52

=

5

2

3

．

点评：本题考查了矩形性质，勾股定理，等边三角形性质，含30度角的直角三角形性质，等腰三角形性质的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力．