Question

6．一次函数y=-$\frac{3}{4}$x的图象如图所示，它与二次函数y=ax²+4ax+c的图象交于A、B两点（其中点A在点B的右侧），与这个二次函数图象的对称轴交于点C． 
（1）求点C的坐标．
（2）设二次函数图象的顶点为D．
①若点D与点C关于x轴对称，且△ACD的面积等于3，求此二次函数的关系式．
②若CD=AC，且△ACD的面积等于10，求此二次函数的关系式．

Answer 1

分析 （1）由抛物线的对称轴方程可知x=-2，将x=-2代入y=$-\frac{3}{4}$x得：y=$-\frac{3}{4}×（-2）$=$\frac{3}{2}$，从而可知点C的坐标为（-2，$\frac{3}{2}$）；
（2）①根据关于x轴对称的点的坐标特点可知D（-2，$-\frac{3}{2}$），从而得到CD=3，然后三角形的面积公式可求得CD边上的高，故此可知得到点A的横坐标为0，从而可知点A的坐标为（0，0），设抛物线的解析式为y=a（x+2）²-$\frac{3}{2}$，将（0，0）代入得：a=$\frac{3}{8}$．抛物线的解析式为y=$\frac{3}{8}（x+2）^{2}-\frac{3}{2}$；
②如图所示，过点A作AE⊥DC，垂足为E．设点D的坐标为（-2，m），则CD=|m-$\frac{3}{2}$|，由△ACD的面积为10，可知$\frac{1}{2}×（m-\frac{3}{2}）×\frac{4}{5}（m-\frac{3}{2}）$=10，从而求得：m=6.5或m=-3.5，故此可求得点D与点A的坐标，最后利用待定系数法求解即可．

解答 解：（1）∵抛物线的对称轴方程为x=-$\frac{b}{2a}$，
∴抛物线的对称轴为x=-$\frac{4a}{2a}$=-2．
∵将x=-2代入y=$-\frac{3}{4}$x得：y=$-\frac{3}{4}×（-2）$=$\frac{3}{2}$，
∴点C的坐标为（-2，$\frac{3}{2}$）．
（2）①∵点D与点C关于x轴对称，
∴点D的坐标为（-2，$-\frac{3}{2}$）．
∴CD=3．
设点A的横坐标为x，则点A到CD的距离=（x+2）．
∵△ACD的面积等于3，
∴$\frac{1}{2}CD×（x+2）$=3．
解得：x=0．
将x=0代入y=-$\frac{3}{4}$x得：y=0．
∴点A的坐标为（0，0）．
设抛物线的解析式为y=a（x+2）²-$\frac{3}{2}$，将（0，0）代入得；4a-$\frac{3}{2}$=0，解得：a=$\frac{3}{8}$．
∴抛物线的解析式为y=$\frac{3}{8}（x+2）^{2}-\frac{3}{2}$．
②如图所示，过点A作AE⊥DC，垂足为E．

设点D的坐标为（-2，m），则CD=|m-$\frac{3}{2}$|．
∵DC=AC，
∴AC=|m-$\frac{3}{2}$|．
∵EA∥x轴，
∴∠COF=∠CAE．
∴AE=$\frac{4}{5}$AC=|$\frac{4}{5}（m-\frac{3}{2}）$|．
∵△ACD的面积为10，
∴$\frac{1}{2}CD•AE$=10，即$\frac{1}{2}×（m-\frac{3}{2}）×\frac{4}{5}（m-\frac{3}{2}）$=10．
解得：m=6.5或m=-3.5．
当m=6.5时，点D的坐标为（-2，6.5）．
AE=$\frac{4}{5}$×（6.5-1.5）=4．
∴点A的横坐标为-2+4=2．
将x=2代入y=-$\frac{3}{4}x$得；y=$-\frac{3}{4}×2$=-$\frac{3}{2}$．
∴点A的坐标为（2，-$\frac{3}{2}$）．
设抛物线的解析式为y=a（x+2）²+6.5，将点A的坐标代入得：16a+6.5=-1.5．
解得：a=-$\frac{1}{2}$．
∴抛物线的解析式为y=$-\frac{1}{2}（x+2）^{2}+6.5$．
当m=-3.5时，点D的坐标为（-2，-3.5）．
AE=$\frac{4}{5}×[1.5-（-3.5）]$=4．
∴点A的坐标为（2，-$\frac{3}{2}$）．
设抛物线的解析式为y=a（x+2）²-3.5，将点A的坐标代入得：16a-3.5=-1.5．
解得：a=$\frac{1}{8}$．
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{8}$（x+2）²-3.5．

点评 本题主要考查的是一次函数、二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象的性质、关于x轴对称点的坐标特点、三角形的面积公式，根据三角形的面积公式列出关于m的方程是解题的关键．