Question

11．△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．
（1）作△ABC关于点C成中心对称的△A₁B₁C₁．
（2）请求出线段AA₁的长度．并写出同时经过A，A₁的一个函数．
（3）在x轴上求作一点P，使PA₁+PC₁的值最小，并写出点P的坐标（不写解答过程，直接写出结果）

Answer 1

分析 （1）根据网格结构找出点A、B、C关于点C的对称点A₁、B₁、C₁的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点A₁、B₁、C₁向右平移3个单位的对应点A₂、B₂、C₂的位置，然后顺次连接即可；
（3）根据轴对称确定最短路线问题，找出点A₁关于x轴的对称点A′，然后连接A′C₁，与x轴的交点即为所求的点P．

解答 解：（1）△A₁B₁C如图所示；

（2）设过AA₁的直线的解析式为：y=kx+b，
∵A（-2，3），
∴A₁（2，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3=-2k+b}\\{1=2k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴过AA₁的直线的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+2，

（3）如图所示，作出A₁关于x轴的对称点A′，连接A′C₁交x轴于点P，
∴A′（2，-1），
设直线A′C₁的解析式为：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1=2k+b}\\{2=b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线A′C₁的解析式为：y=-$\frac{3}{2}$x+2，
令y=0，则-$\frac{3}{2}$x+2=0，
∴x=$\frac{4}{3}$，
∴P点坐标为：（$\frac{4}{3}$，0）．

点评 本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，轴对称确定最短路线问题，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．