Question

10．如图1，点E正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，连接CE、CF．
（1）求证：△ABF≌△CBE；
（2）判断△CEF的形状，并说明理由；
（3）如图2，已知AF=3，CF=5，点P从点E出发，沿EA方向以每秒$\sqrt{2}$cm的速度向终点A运动；同时动点Q从点B出发沿BE方向以每秒1cm的速度向终点E运动，将△EPQ沿EB翻折，点P的对应点为点G．设Q点运动的时间为t秒，当t为何值时，四边形PQGE为菱形？

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是正方形可得出AB=CB，∠ABC=90°，再由△EBF是等腰直角三角形可得出BE=BF，通过角的计算可得出∠ABF=∠CBE，利用全等三角形的判定定理SAS即可证出△ABF≌△CBE；
（2）根据△EBF是等腰直角三角形可得出∠BFE=∠FEB，通过角的计算可得出∠AFB=135°，再根据全等三角形的性质可得出∠CEB=∠AFB=135°，通过角的计算即可得出∠CEF=90°，从而得出△CEF是直角三角形．
（3）当△PEQ是等腰直角三角形时，四边形PQGE是菱形，可得EQ=$\sqrt{2}$PE，由此列出方程即可解决问题；

解答 （1）证明：如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，∠ABC=90°，
∵△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，
∴BE=BF，
∴∠ABC-∠CBF=∠EBF-∠CBF，
∴∠ABF=∠CBE．
在△ABF和△CBE中，
有$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠ABF=∠CBE}\\{BF=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CBE（SAS）．

（2）解：△CEF是直角三角形．理由如下，如图1中，
∵△EBF是等腰直角三角形，
∴∠BFE=∠FEB=45°，
∴∠AFB=180°-∠BFE=135°，
又∵△ABF≌△CBE，
∴∠CEB=∠AFB=135°，
∴∠CEF=∠CEB-∠FEB=135°-45°=90°，
∴△CEF是直角三角形．

（3）∵△ABF≌△CBE，
∴CE=AE=3，∵CF=5，
∴EF=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴BF=BE=2$\sqrt{2}$，
∵△EQG是由△EQP翻折得到，
∴EP=EG，∠QEP=∠QEG=45°，
∴当△PEQ是等腰直角三角形时，四边形PQGE是菱形，
∴EQ=$\sqrt{2}$PE，
2$\sqrt{2}$-t=$\sqrt{2}$•$\sqrt{2}$t，
∴t=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴当t=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$s时，四边形PQGE为菱形．

点评 本题考查了正方形的性质．全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质以及角的计算，解题的关键是：（1）根据判定定理SAS证明△ABF≌△CBE；（2）通过角的计算得出∠CEF=90°．（3）当△PEQ是等腰直角三角形时，四边形PQGE是菱形，本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，通过正方形和等腰三角形的性质找出相等的边，再通过角的计算找出相等的角，以此来证明两三角形全等是关键，学会构建方程解决问题．