Question

9．当m＞1，n＞-2，且满足mn+2m-n=6时，就称点（m-1，n+2）为“友好点”．
（1）已知（1，y²）是友好点，求y的值．
（2）已知点A和点B是两个不同的“友好点”，它们的横坐标分别是a和b，且OA²=OB²，若$\frac{1}{2}$≤a≤2，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）首先将mn+2m-n=6变形为（m-1）（n+2）=4，从而推出“友好点”都在反比例函数y=$\frac{4}{x}$图象上，由此列出方程即可解决问题．
（2）首先判断点A、B在第一象限，且关于直线y=x对称，由此可知A（a，b），B（b，a），利用待定系数法即可解决问题．

解答 解：（1）由mn+2m-n=6得：mn+2m-n-2=4，
∴（m-1）（n+2）=4，
∵点（m-1，n+2）为“友好点”，
所以“友好点”都在反比例函数y=$\frac{4}{x}$图象上，
∵（1，y²）是“友好点”，
∴1•y²=4，
∴y=±2，
经检验，y=±2时，（1，y²）是“友好点”．

（2）∵点A和点B是两个不同的“友好点”，它们的横坐标分别是a和b，且OA²=OB²，
∴根据“友好点”的定义可知A、B在第一象限，且关于直线y=x对称．
∴A（a，b），B（b，a），
∵$\frac{1}{2}$≤a≤2，A、B在反比例函数y=$\frac{4}{x}$上，
∴当a=$\frac{1}{2}$时，b=8，当a=2时，b=2，
∴2≤b≤8．

点评 本题主要考查的是反比例函数和正比例函数的应用，解题的关键是发现“友好点”都在反比例函数y=$\frac{4}{x}$图象上，根据OA²=OB²，推出A、B关于直线y=x对称，题目有一定的难度，学会用转化的思想思考问题，属于中考创新题目．