Question

11．已知二次函数f（x）的最大值为8且满足f（-1）=f（2）=-1，则此二次函数的解析式f（x）=-4x²+4x+7．

Answer 1

分析 先利用对称性得到抛物线的对称轴为直线x=$\frac{1}{2}$，则抛物线的顶点坐标为（$\frac{1}{2}$，8），于是可设顶点式y=a（x-$\frac{1}{2}$）²+8，然后把（-1，-1）代入求出a的值即可．

解答 解：∵f（-1）=f（2）=-1，
∴抛物线经过点（-1，-1），（2，-1），
∴抛物线的对称轴为直线x=$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的顶点坐标为（$\frac{1}{2}$，8），
设抛物线的解析式为y=a（x-$\frac{1}{2}$）²+8，
把（-1，-1）代入得a•（-1-$\frac{1}{2}$）²+8=-1，解得a=-4，
∴抛物线的解析式为y=-4（x-$\frac{1}{2}$）²+8，
即y=-4x²+4x+7．
故答案为-4x²+4x+7．

点评 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．