Question

如图，已知抛物线y=x²﹣x﹣3与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C．

（1）直接写出A、D、C三点的坐标；

（2）若点M在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M的坐标；

（3）设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

解：（1）∵y=x²﹣x﹣3，∴当y=0时，x²﹣x﹣3=0，

解得x₁=﹣2，x₂=4．当x=0，y=﹣3．

∴A点坐标为（4，0），D点坐标为（﹣2，0），C点坐标为（0，﹣3）；

（2）∵y=x²﹣x﹣3，∴对称轴为直线x==1．

∵AD在x轴上，点M在抛物线上，

∴当△MAD的面积与△CAD的面积相等时，分两种情况：

①点M在x轴下方时，根据抛物线的对称性，可知点M与点C关于直线x=1对称，

∵C点坐标为（0，﹣3），∴M点坐标为（2，﹣3）；

②点M在x轴上方时，根据三角形的等面积法，可知M点到x轴的距离等于点C到x轴的距离3．当y=4时，x²﹣x﹣3=3，解得x₁=1+，x₂=1﹣，

∴M点坐标为（1+，3）或（1﹣，3）．

综上所述，所求M点坐标为（2，﹣3）或（1+，3）或（1﹣，3）；

（3）结论：存在．

如图所示，在抛物线上有两个点P满足题意：

①若BC∥AP₁，此时梯形为ABCP₁．

由点C关于抛物线对称轴的对称点为B，可知BC∥x轴，则P₁与D点重合，

∴P₁（﹣2，0）．∵P₁A=6，BC=2，∴P₁A≠BC，∴四边形ABCP₁为梯形；

②若AB∥CP₂，此时梯形为ABCP₂．

∵A点坐标为（4，0），B点坐标为（2，﹣3），∴直线AB的解析式为y=x﹣6，

∴可设直线CP₂的解析式为y=x+n，将C点坐标（0，﹣3）代入，得b=﹣3，

∴直线CP₂的解析式为y=x﹣3．∵点P₂在抛物线y=x²﹣x﹣3上，

∴x²﹣x﹣3=x﹣3，化简得：x²﹣6x=0，解得x₁=0（舍去），x₂=6，

∴点P₂横坐标为6，代入直线CP₂解析式求得纵坐标为6，∴P₂（6，6）．

∵AB∥CP₂，AB≠CP₂，∴四边形ABCP₂为梯形．

综上所述，在抛物线上存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形；点P的坐标为（﹣2，0）或（6，6）．