Question

11．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2所示是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．
（1）设图1中阴影部分面积为S₁，图2中阴影部分面积为S₂．请直接用含a，b的代数式表示S₁，S₂；
（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式；
（3）试利用这个公式计算：（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）+1．

Answer 1

分析 （1）根据两个图形的面积相等，即可写出公式；
（2）根据面积相等可得（a+b）（a-b）=a²-b²；
（3）从左到右依次利用平方差公式即可求解．

解答 解：（1）${S}_{1}={a}^{2}-{b}^{2}$，S₂=（a+b）（a-b）；
（2）（a+b）（a-b）=a²-b²；
（3）原式=（2-1）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）+1
=（2²-1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）+1
=（2⁴-1）（2⁴+1）（2⁸+1）+1
=（2⁸-1）（2⁸+1）+1
=（2¹⁶-1）+1
=2¹⁶．

点评 本题考查了平方差的几何背景以及平方差公式的应用，正确理解平方差公式的结构是关键．