Question

17．如图，直线y=kx+2k（k≠0）与x轴交于点B，与双曲线y=$\frac{4}{x}$交于点A、C，其中点A在第一象限，点C在第三象限．
（1）求B点的坐标；
（2）若S_△AOB=2，求A点的坐标；
（3）若C（-4，-1）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围；
（4）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据x轴上的坐标特点，令y=0时，则kx+2k=0，可求出x=-2，则可确定点B坐标为（-2，0）；
（2）设点A的坐标为（x、y），根据三角形的面积公式得到S_△AOB=$\frac{1}{2}$•|-2|•|y|=2，可解得y=±2，由于点A在第一象限，则y=2，利用点A再反比例函数图象上，把y=2代入y=$\frac{4}{x}$得x=2，从而确定A点坐标；
（3）根据图形和A，C的坐标即可得到结果；
（4）存在点P，使△AOP是等腰三角形．只是确定P坐标时，题目没有说明谁是腰，是底，所以要分类讨论，不要漏解．

解答 解：（1）当y=0时，则kx+2k=0，
又∵k≠0
∴x=-2，
∴点B坐标为（-2，0）；

（2）设点A的坐标为（x、y），
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$•|-2|•|y|=2，
∴y=±2，
∵点A在第一象限，
∴y=2，
把y=2代入y=$\frac{4}{x}$得x=2，
∴点A的坐标为（2，2）；

（3）根据图象得：当一次函数的值大于反比例函数的值时，
即：kx+2k＞y=$\frac{4}{x}$时，-4＜x＜0，或x＞2；

（4）当AP₁⊥x轴，AP₁=OP₁，∴P₁（2，0），
当AO=AP₂，∴P₂（4，0），
当AO=OP₃，∴P₃（-2$\sqrt{2}$，0），
当AO=OP₄，∴P₄（2$\sqrt{2}$，0），
则P点的坐标为：P₁（2，0），P₂（4，0），P₃（-2$\sqrt{2}$，0），P₄（2$\sqrt{2}$，0）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，知道反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式是解题的关键．