Question

1．如图，菱形ABCD中，AB=a，∠ABC=60°，点E、F分别在CB、DC的延长线上，∠EAF=60°．
（1）求证：∠E=∠F；
（2）求CE-CF的值．

Answer 1

分析 （1）先证△ABC是等边三角形，得出BC=AC=AB=a，∠BAC=60°，再证明△ABE≌△ACF，即可得出结论；
（2）由（1）△ABE≌△ACF得出BE=CF，即可得出CE-CF=BC=a．

解答 （1）证明：连接AC，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，∠ABE=120°，∠BAD=∠BCD=120°，
∴BC=AC=AB=a，∠BAC=60°，∠ACD=60°，
∴∠ACF=120°，
∵∠EAF=60°，
∴∠BAE=∠CAF，
在△ABE和△ACF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠CAF}&{\;}\\{∠ABE=∠ACF=120°}&{\;}\\{AB=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴∠E=∠F；
（2）解：由（1）△ABE≌△ACF得：BE=CF，
∴CE-CF=BC+BE-CF=BC=a．

点评 本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．