Question

19．在平面直角坐标系中，设A（-1，-2），B（4，-1），C（m，0），D（n，n）为四边形的四个顶点，当四边形ABCD的周长最短时，$\frac{m}{n}$的值为（　　）

• A． -2
• B． -1
• C． -$\frac{1}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 由于AB长为定值，四边形ABCD周长最短其实就是AD+DC+BC最小不妨作出B点关于x轴的对称点B'（4，1），A点关于直线y=x的对称点A'（-2，-1）再连接A'B'，该直线A'B'交x轴于C，交直线y=x于D，求出A′B′的解析式，把C、D点的坐标代入直线方程，求出m、n的值即可．

解答 解：如图所示，作B点关于x轴的对称点B'（4，1），A点关于直线y=x的对称点A'（-2，-1）再连接A'B'，该直线A'B'交x轴于C，交直线y=x于D，
设直线A′B′的解析式为y=kx+b（k≠0），把点A'（-2，-1）、B'（4，1）代入得，
$\left\{\begin{array}{l}{-1=-2k+b}\\{1=4k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{3}}\\{b=-\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
故此函数的解析式为：y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{1}{3}$，
分别把C（m，0），D（n，n）代入得，0=$\frac{1}{3}$m-$\frac{1}{3}$，n=$\frac{1}{3}$n-$\frac{1}{3}$，
即m=1，n=-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{m}{n}$=-2．
故选A．

点评 本题考查的是最短路线问题及用待定系数法求一次函数的解析式，利用轴对称的性质分别求出A′、B′两点的坐标是解答此题的关键．