Question

1．如图，AB是⊙O的直径，∠CAB=45°，BC=BA．连接OC交⊙O于D．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AB=2，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）先由BC=BA求出∠ACB=∠CAB，再根据三角形内角和求出∠ABC=90°，即可得出结论；
（2）先求出半径，再根据勾股定理即可求出OC，得出CD．

解答 （1）证明：∵BC=BA，∠CAB=45°，
∴∠ACB=∠CAB=45°，
∴∠ABC=180°-45°-45°=90°，
即AB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；                                       
（2）解：由（1）可知，∠ABC=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴OD=OB=$\frac{1}{2}$AB=1，BC=2，
∴OC=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴CD=OC-OD=$\sqrt{5}$-1．

点评 本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、勾股定理；熟练掌握切线的判定方法，并能进行推理计算是解决问题的关键．