Question

如图，已知：E为菱形ABOP的对角线的交点，C为AP上一点，连接BC交AO于D，且AD=AC．
（1）求证：AE=

1

2

（AB+AC）；
（2）若AC=3，AB=5，求三角形ABD的面积．

Answer 1

分析：（1）求证AB=OD即可；
（2）利用（1）可求得AE，再由勾股定理求得BE，就可求得△ABD的面积．

解答：（1）证明：∵四边形ABOP是菱形，
∴AB=OB，AC∥OB，AE=

1

2

AO．
∴∠ACD=∠DBO．
∵AD=AC，∠ADC=∠BDO，
∴∠DBO=∠BDO．
∴AB=OB=OD．
∴AE=

1

2

AO=

1

2

（OD+AD）=

1

2

（AB+AC）．

（2）解：AE=

1

2

（AB+AC）=

1

2

（5+3）=4，
BE=

AB2-AE2

=

52-42

，
S_△ABD=

1

2

AD•BE=4.5．

点评：本题考查菱形的性质，平行线的性质，勾股定理，三角形的面积公式的理解及运用．