Question

6．如图，已知在Rt△ABC中，AB=AC=3$\sqrt{2}$，在△ABC内作第一个内接正方形DEFG；然后取GF的中点P，连接PD、PE，在△PDE内作第二个内接正方形HIKJ；再取线段KJ的中点Q，在△QHI内作第三个内接正方形…依次进行下去，则第2014个内接正方形的边长为$\frac{1}{{2}^{2012}}$．

Answer 1

分析 首先根据勾股定理得出BC的长，进而利用等腰直角三角形的性质得出DE的长，再利用锐角三角函数的关系得出$\frac{EI}{KI}=\frac{PF}{EF}=\frac{1}{2}$，即可得出正方形边长之间的变化规律，得出答案即可．

解答 解：∵在Rt△ABC中，AB=AC=$3\sqrt{2}$，
∴∠B=∠C=45°，BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}=6$，
∵在△ABC内作第一个内接正方形DEFG；
∴EF=EC=DG=BD，
∴DE=$\frac{1}{3}$BC
∴DE=2，
∵取GF的中点P，连接PD、PE，在△PDE内作第二个内接正方形HIKJ；再取线段KJ的中点Q，在△QHI内作第三个内接正方形…依次进行下去，
∴$\frac{EI}{KI}=\frac{PF}{EF}=\frac{1}{2}$，
∴EI=$\frac{1}{2}$KI=$\frac{1}{2}$HI，
∵DH=EI，
∴HI=$\frac{1}{2}$DE=$（\frac{1}{2}）^{2-1}×2$，
则第n个内接正方形的边长为：2×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∴则第2014个内接正方形的边长为2×$（\frac{1}{2}）^{2014-1}$=2×$\frac{1}{{2}^{2013}}$=$\frac{1}{{2}^{2012}}$．
故答案为：$\frac{1}{{2}^{2012}}$．

点评 此题主要考查了正方形的性质以及数字变化规律和勾股定理等知识，根据已知得出正方形边长的变化规律是解题关键．