Question

已知四边形ABCD中，AD=a，CD=b，AB=AC=BC=c，求BD的最大值．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,线段的性质：两点之间线段最短,等边三角形的判定与性质,旋转的性质

专题：综合题

分析：将线段BD绕着点B沿着顺时针旋转60°到BE的位置，连接CE、DE，从而得到△BDE是等边三角形，则有DE=BD．易证△ABD≌△CBE，则有BD=BE，AD=CE．根据两点之间线段最短可得DE≤a+b，就可得到DE即BD的最大值．

解答：解：将线段BD绕着点B沿着顺时针旋转60°到BE的位置，连接CE、DE，如图所示．
则有BE=BD，∠EBD=60°．
∴△BDE是等边三角形．
∴DE=BD．
∵△ABC是等边三角形，
∴BA=BC，∠ABC=60°．
∴∠EBD=∠ABC=60°．
∴∠ABD=∠CBE．
在△ABD和△CBE中，

BA=BC ∠ABD=∠CBE BD=BE

．
∴△ABD≌△CBE（SAS）．
∴BD=BE，AD=CE．
∵AD=CE=a，CD=b，
∴根据两点之间线段最短可得：DE≤CE+CD=a+b．
∴DE的最大值为a+b．
∴BD的最大值为a+b．

点评：本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短等知识，而通过旋转构造全等三角形是解决本题的关键．