如图.线段AB在直线l上.点C是直线l上一动点.AD⊥AB.AD=AB.CE⊥CD.BE⊥BD．(1)如图1.试判断线段CD和线段CE的数量关系.并证明,(2)如图2.过点C作CF⊥BD于F.则线段DF.CF.BE之间是否存在某种数量关系?它们的关系是: ,(3)如图3.过点C作CF⊥BE于F.则线段DB.CF.EF之间是否存在某种数量关系?它们的关系是．从两个� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图，线段AB在直线l上，点C是直线l上一动点，AD⊥AB，AD=AB，CE⊥CD，BE⊥BD．
（1）如图1，试判断线段CD和线段CE的数量关系，并证明；
（2）如图2，过点C作CF⊥BD于F，则线段DF、CF、BE之间是否存在某种数量关系？它们的关系是：

；
（3）如图3，过点C作CF⊥BE于F，则线段DB、CF、EF之间是否存在某种数量关系？它们的关系是

．
从（2）、（3）两个结论中任意选取一个，给出你的证明．

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）过点C作CH⊥AB交BD于H，判断出△BCH是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得BC=CH，∠CBH=∠CHB=45°，然后求出∠CBE=∠CHD=135°，再根据等角的余角相等求出∠E=∠CDH，然后利用“角角边”证明△BCE和△HCD全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=CD；
（2）过点C作CH⊥AB交BD于H，同（1）可得△BCE和△HCD全等，根据全等三角形对应边相等可得DH=BE，再根据等腰直角三角形的性质可得FH=CF，然后根据DF=DH+FH等量代换即可得证；
（3）过点C作CH⊥AB交BD于H，同（1）可得△BCD和△HCE全等，根据全等三角形对应边相等可得DB=HE，再根据等腰直角三角形的性质可得FH=CF，然后根据EF=EH+FH等量代换即可得证．

解答：（1）证明：如图，过点C作CH⊥AB交BD于H，
∵AD⊥AB，AD=AB，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD=45°，
∴△BCH是等腰直角三角形，
∴BC=CH，∠CBH=∠CHB=45°，
∵BE⊥BD，
∴∠CBE=∠CHD=135°，
∵CE⊥CD，BE⊥BD，
∴∠E=∠CDH，
在△BCE和△HCD中，

∠E=∠CDH

∠CBE=∠CHD=135°

BC=CH

，
∴△BCE≌△HCD（AAS），
∴CE=CD；

（2）解：过点C作CH⊥AB交BD于H，同（1）可得△BCE和△HCD全等，
所以DH=BE，
∵△BCH是等腰直角三角形，CF⊥BD，
∴FH=CF，
∵DF=DH+FH，
∴DF=BE+CF；

（3）解：过点C作CH⊥AB交BD于H，同（1）可得△BCD和△HCE全等，
所以，DB=HE，
∵△BCH是等腰直角三角形，CF⊥BD，
∴FH=CF，
∵EF=EH+FH，
∴EF=DB+CF．
故答案为：（2）DF=BE+CF；（3）EF=DB+CF．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，难点在于作辅助线构造出全等三角形和等腰直角三角形，此类题目，各小问的求解思路相同是解题的关键．