Question

1．如图，某渔船在小岛O南偏东75°方向的B处遇险，在小岛O南偏西45°方向A处巡航的中国渔政船接到求救信号后立刻前往救援，此时，中国渔政船与小岛O相距8海里，渔船在中国渔政船的正东方向上．
（1）求∠BAO与∠ABO的度数（直接写出答案）；
（2）若中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB方向赶往B处救援，能否在1小时内赶到？请说明理由．（参考數据：tan75°≈3.73，tan15°≈0.27，$\sqrt{2}$≈1.41，$\sqrt{6}$≈2.45）

Answer 1

分析 （1）作OC⊥AB于C，根据方向角的定义得到∠AOC=45°，∠BOC=75°，由直角三角形两锐角互余得出∠BAO=90°-∠AOC=45°，∠ABO=90°-∠BOC=15°；
（2）先解Rt△OAC，得出AC=OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OA≈5.64海里，解Rt△OBC，求出BC=OC•tan∠BOC≈21.0372海里，那么AB=AC+BC≈26.6772海里，再根据时间=路程÷速度求出中国渔政船赶往B处救援所需的时间，与1小时比较即可求解．

解答 解：（1）如图，作OC⊥AB于C，由题意得，∠AOC=45°，∠BOC=75°，
∵∠ACO=∠BCO=90°，
∴∠BAO=90°-∠AOC=90°-45°=45°，
∠ABO=90°-∠BOC=90°-75°=15°；

（2）若中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB方向赶往B处救援，能在1小时内赶到．理由如下：
∵在Rt△OAC中，∠ACO=90°，∠AOC=45°，OA=8海里，
∴AC=OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OA≈4×1.41=5.64海里．
∵在Rt△OBC中，∠BCO=90°，∠BOC=75°，OC=4$\sqrt{2}$海里，
∴BC=OC•tan∠BOC≈5.64×3.73=21.0372海里，
∴AB=AC+BC≈5.64+21.0372=26.6772海里，
∵中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB方向赶往B处救援，
∴中国渔政船所需时间：26.6772÷28≈0.953小时＜1小时，
故若中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB方向赶往B处救援，能在1小时内赶到．

点评 本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，直角三角形的性质，锐角三角函数定义，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．