Question

5．如图，已知△ABC中，∠B=∠C，AB=AC=12cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由．
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

Answer 1

分析 （1）△BPD≌△CPQ，利用已知条件求出BP=CQ，PC=BD．利用SAS证明△BPD≌△CQP．
（2）由点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，所以BP≠CQ，又由△BPD与△CPQ全等，∠B=∠C，得到BP=PC=4cm，CQ=BD=6cm，从而求出点P，点Q运动的时间为4÷2=2秒，即可解答．

解答 解：（1）△BPD≌△CPQ，
理由如下∵t=1s，
∴BP=CQ=2×1=2cm，
∵AB=12cm，点D为AB的中点，
∴BD=6cm．
又∵PC=BC-BP，BC=8cm，
∴PC=8-2=6cm，
∴PC=BD．
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BPD和△CPQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{BP=CQ}\\{∠B=∠C}\\{BD=PC}\end{array}\right.$
∴△BPD≌△CQP．
（2）∵点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
∴BP≠CQ，
又∵△BPD与△CPQ全等，∠B=∠C，
∴BP=PC=4cm，CQ=BD=6cm，
∴点P，点Q运动的时间为4÷2=2s，
∴Q点的运动速度为6÷2=3（cm/s）．

点评 本题主要考查了全等三角形全等的判定，涉及到等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．