Question

8．如图，在长方形ABCD中，AD=8，CD=4，P是AD上一点，且PA=PC．
（1）求AP的长；
（2）Q是AB上一点，$AQ=\frac{15}{4}$，QP与PC垂直吗？为什么？

Answer 1

分析 （1）设PA=x，表示出PD的长度，再利用勾股定理列式求解即可；
（2）连结CQ，根据勾股定理求出PQ²，PC²，CQ²，然后利用勾股定理逆定理进行解答即可．

解答 解：（1）设AP=x，则PC=x，PD=8-x，
在Rt△CPD中，由勾股定理得PD²+CD²=PC²，
∴（8-x）²+4²=x²
解得x=5，
即AP=5；
（2）QP与PC垂直，理由如下：
连结CQ，在R$P{Q^2}={（\frac{15}{4}）^2}+{5^2}=\frac{625}{16}$t△AQP和Rt△CBQ中，由勾股定理可得：AQ²+AP²=PQ²BQ²+CB²=CQ²，
即：$C{Q^2}={（4-\frac{15}{4}）^2}+{8^2}=\frac{1025}{16}$，
∵$P{Q^2}+P{C^2}=\frac{625}{16}+25=\frac{1025}{16}=C{Q^2}$
∴PQ⊥PC．

点评 本题考查了矩形的性质，勾股定理，勾股定理逆定理，作出图形，分别表示出各直角三角形的边是解题的关键．