Question

6．如图，△ABC中，∠C=90°，点O为AB上的一点，以点O为圆心，OA为半径的圆弧与BC相切于点D，交AC于点E，连接AD．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若AE=2，DC=$\sqrt{2}$，求圆弧的半径．

Answer 1

分析 （1）连接OD，根据切线的性质可得OD⊥BC，即得∠ODB=∠C=90°，则可得OD∥AC，根据平行线的性质可得∠ODA=∠CAD，根据圆的基本性质可得∠ODA=∠OAD，问题得证；
（2）过O作OH⊥AC于H，根据垂径定理可得，由OD∥AC，OH⊥AC，∠C=90°可求得OH=DC=$\sqrt{2}$，在RtAOH中，根据勾股定理即可求得结果．

解答 （1）证明：
如图1，连接OD，

∵BC为切线，
∴OD⊥BC，即∠ODB=90°，
∵∠C=90°，
∴∠C=∠ODB，
∴OD∥AC，
∴∠ODA=∠DAC，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠OAD=∠DAC，
即AD平分∠BAC；
（2）解：
如图2，过O作OH⊥AC于H，

则AH=$\frac{1}{2}$AE=1，
结合（1）可知四边形OHCD为矩形，
∴OH=CD=$\sqrt{2}$，
在Rt△AOH中，由勾股定理可得OA=$\sqrt{A{H}^{2}+H{O}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$，
即圆弧的半径为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线性质，勾股定理，等腰三角形性质，平行线的性质和判定等知识点，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．