Question

12．如图1，一副直角三角板满足AB=BC，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°，将三角板DEF的直角边EF放置于三角板ABC的斜边AC上，且点E与点A重合． 固定三角板ABC，将三角板DEF沿AC方向平移到一定位置后，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC交于点Q； 在旋转过程中，
（1）当$\frac{CE}{EA}=1$时，如图2，直接写出EP与EQ的关系：EP=EQ
（2）当$\frac{CE}{EA}=2$时，如图3，EP与EQ满足怎样的数量关系？并说明理由．
（3）直接写出：当$\frac{CE}{EA}=m$时，EP与EQ满足的数量关系：EQ=mEP．

Answer 1

分析 （1）连接BE，根据已知条件得到E是AC的中点，根据等腰直角三角形的性质可以证明DE=CE，∠PBE=∠C．根据等角的余角相等可以证明∠BEP=∠CEQ．即可得到全等三角形，从而证明结论；
（2）作EM⊥AB，EN⊥BC于M、N，根据两个角对应相等证明∴△EMQ∽△ENP，再根据等腰直角三角形的性质得到EM：EN=EQ：EP；
（3）根据（2）中求解的过程，可以直接写出结果；要求m的取值范围，根据交点的位置的限制进行分析．

解答 （1）EP=EQ，
证明：连接BE，如答图1，
根据E是AC的中点和等腰直角三角形的性质，得：BE=CE，∠PBE=∠C=45°，
∵∠BEC=∠FED=90°
∴∠BEP=∠CEQ，
在△BEP和△CEQ中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEP=∠CEQ}\\{BE=CE}\\{∠PBE=∠C}\end{array}\right.$，
∴△BEP≌△CEQ（ASA），
∴EP=EQ．
故答案是：EP=EQ；

（2）EQ=2EP．
理由：过E作EM⊥BC于M，过E作EN⊥AB于N，如答图2，
则EM=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$EC，EN=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$AE
∵$\frac{CE}{EA}=2$
∴$\frac{EM}{EN}=2$．
∵∠MQE+∠MEP=∠NPE+∠MEP=90°
∴∠MQE=∠NPE．
又∠EMQ=∠ENP
∴△EMQ∽△ENP
∴$\frac{EQ}{EP}=\frac{EM}{EN}=2$
即：EQ=2EP；


（3）如答图2，∵在四边形PEQB中，∠B=∠PEQ=90°，
∴∠EPB+∠EQB=180°，
又∵∠EPB+∠NPE=180°，
∴∠NPE=∠EQM，
∴Rt△NEP∽Rt△MEQ，
∴$\frac{EP}{EQ}$=$\frac{NE}{EM}$，
Rt△ANE∽Rt△EMC，
∴$\frac{CE}{EA}$=m=$\frac{EM}{NE}$，
∴$\frac{EP}{EQ}$=1：m=$\frac{AE}{CE}$，
EP与EQ满足的数量关系式1：m，即EQ=mEP，
∴0≤m≤2+$\sqrt{6}$，（因为当m＞2+$\sqrt{6}$时，EF和BC变成不相交）．
故答案是：EQ=mEP．

点评 本题考查了几何变换综合题，涉及了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，综合考察的知识点较多，对于此类综合性较强的题目，关键还是需要同学们有扎实的基本功，注意培养自己的融会贯通能力．