Question

10．在直径为20的⊙O中，弦AB，CD相互平行．若AB=16，CD=10，则弦AB，CD之间的距离是$5\sqrt{3}$±6．

Answer 1

分析 过点O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA、OC，如图，利用平行线的性质得OF⊥CD，则根据垂径定理得到AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=8，CF=DF=$\frac{1}{2}$CD=5，再利用勾股定理计算出OE，OF，然后分类讨论：当点O在AB和CD之间时，EF=OE+OF，当点O不在AB和CD之间时，EF=OE-OF．

解答 解：过点O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA、OC，如图，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=8，CF=DF=$\frac{1}{2}$CD=5，
在Rt△AOE中，OE=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
在Rt△OCF中，OF=$\sqrt{1{0}^{2}-{5}^{2}}$=5$\sqrt{3}$，
当点O在AB和CD之间时，EF=OE+OF=5$\sqrt{3}$+6，
当点O不在AB和CD之间时，EF=OE-OF=5$\sqrt{3}$-6，
∴AB、CD之间的距离为$5\sqrt{3}$±6．
故答案为$5\sqrt{3}$±6．

点评 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论思想的应用．