Question

3．如图，在扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半径为r，点C在$\widehat{AB}$上，CD⊥OA，垂足为D，当△OCD的面积最大时，$\widehat{AC}$的长为$\frac{1}{4}πr$．

Answer 1

分析 由OC=r，点C在$\widehat{AB}$上，CD⊥OA，利用勾股定理可得DC的长，求出OD=$\frac{\sqrt{2}}{2}r$时△OCD的面积最大，∠COA=45°时，利用弧长公示得到答案．

解答 解：∵OC=r，点C在$\widehat{AB}$上，CD⊥OA，
∴DC=$\sqrt{O{C}^{2}-O{D}^{2}}$=$\sqrt{{r}^{2}-O{D}^{2}}$，
∴S_△OCD=$\frac{1}{2}$OD•$\sqrt{{r}^{2}-O{D}^{2}}$，
∴S_△OCD²=$\frac{1}{4}$OD²•（r²-OD²）=-$\frac{1}{4}$OD⁴+$\frac{1}{4}$r²OD²=-$\frac{1}{4}$（OD²-$\frac{{r}^{2}}{2}$）²+$\frac{{r}^{4}}{16}$
∴当OD²=$\frac{{r}^{2}}{2}$，即OD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r时△OCD的面积最大，
∴∠OCD=45°，
∴∠COA=45°，
∴$\widehat{AC}$的长为：$\frac{45°πr}{180°}$=$\frac{1}{4}$πr，
故答案为：$\frac{1}{4}πr$．

点评 本题主要考查了扇形的面积，勾股定理，求出OD=$\frac{\sqrt{2}}{2}r$时△OCD的面积最大，∠COA=45°是解答此题的关键．