Question

将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示，将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A（A′）、B在同一条直线上，如图2所示，观察图2可知：与BC相等的线段是______，∠CAC′=______°。

问题探究：如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q，试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.，

拓展延伸：如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H，若AB=kAE，AC=kAF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由。

 

 

Answer 1

【答案】

（1）DA，90；（2）FQ=EP；证明如下；（3）HE=HF，理由如下.

【解析】

试题分析：①观察图形即可发现DA′=BC，A′C=AC，DC′=BA，所以△ABC≌△AC′D，即BC=DA、∠CAC′=90°可解题；

②由全等三角形△APE≌△BGA的对应边相等知，EP=AG；同理由全等三角形△FQA≌△AGC的对应边相等知FQ=AG，所以易证EP=FQ；

③过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q．根据全等三角形的判定和性质即可解题．

试题解析：①观察图形即可发现△ABC≌△AC′D，即BC=AD，∠C′AD=∠ACB，

∴∠CAC′=180°-∠C′AD-∠CAB=90°；

②∵∠FAQ+∠CAG=90°，∠FAQ+∠AFQ=90°，

∴∠AFQ=∠CAG，同理∠ACG=∠FAQ，

又∵AF=AC，

∴△AFQ≌△CAG，

∴FQ=AG，

同理EP=AG，

∴FQ=EP．

③HE=HF．

理由：过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q．

∵四边形ABME是矩形，

∴∠BAE=90°，

∴∠BAG+∠EAP=90°，

又AG⊥BC，

∴∠BAG+∠ABG=90°，

∴∠ABG=∠EAP．

∵∠AGB=∠EPA=90°，

∴△ABG∽△EAP，

∴AG：EP=AB：EA．

同理△ACG∽△FAQ，

∴AG：FQ=AC：FA．

∵AB=k•AE，AC=k•AF，

∴AB：EA=AC：FA=k，

∴AG：EP=AG：FQ．

∴EP=FQ．

∵∠EHP=∠FHQ，

∴Rt△EPH≌Rt△FQH．

∴HE=HF．

考点:（1）三角形全等的判定与性质；（2）相似三角形的判定与性质.