如图1.△ABC是边长为5cm的等边三角形.点P.Q分别从顶点A.B同时出发.沿线段AB.BC运动.且它们的是速度都为1厘米/秒．当点P到达点B时.P.Q两点停止运动．设点P的运动时间为t(秒)．(1)当运动时间为t秒时.BQ的长为t厘米.BP的长为5-t厘米,(2)当t为何值时.△PBQ是直角三角形,(3)如图2.连接AQ.CP.相交于点M.则点P.Q在运� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．如图1，△ABC是边长为5cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的是速度都为1厘米/秒．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．

（1）当运动时间为t秒时，BQ的长为t厘米，BP的长为5-t厘米；（用含t的式子表示）
（2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形；
（3）如图2，连接AQ、CP，相交于点M，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数．

分析（1）根据题意、结合图形解答；
（2）分∠PQB=90°、∠BPQ=90°两种情况，根据直角三角形的性质列式计算即可；
（3）证明△ABQ≌△CAP，根据全等三角形的性质、等边三角形的内角是60°解答即可．

解答解：（1）由题意得，BQ=t，BP=5-t，
故答案为：t；（5-t）；

（2）设时间为t，则AP=BQ=t，PB=5-t，
①当∠PQB=90°时，
∵∠B=60°，
∴∠BPQ=30°，
∴PB=2BQ，得5-t=2t，
解得，t=$\frac{5}{3}$，
②当∠BPQ=90°时，
∵∠B=60°，
∴∠BQP=30°，
∴BQ=2BP，得t=2（5-t），
解得，t=$\frac{10}{3}$，
∴当第$\frac{5}{3}$秒或第$\frac{10}{3}$秒时，△PBQ为直角三角形；

（3）∠CMQ不变，理由如下：
在△ABQ与△CAP中，
$\left\{\begin{array}{l}AB=AC\\∠B=∠CAP=60°\\ AP=BQ\end{array}\right.$，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴∠BAQ=∠ACP，
∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°，
∴∠CMQ不会变化．

点评本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

品名	单价（台/元）
电视机	5000
洗衣机	2000
空调	2400

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