Question

20．如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=DC，DE⊥AB于E．若四边形ABCD的面积为12，求DE的长．

Answer 1

分析 把△ADE绕A点旋到△DCF处，使AD与CD重合，根据旋转的性质得到DF=DE，∠DCF=∠A，得到∠DCF+∠DCB=180°，即F、C、B三点共线，所以S_{四边形ABCD}=S_{四边形DEBF}，而四边形DEBF是正方形，得到DE²=12，得到DE=2$\sqrt{3}$．

解答 解：把△ADE绕D点旋转到△DCF处，使AD与DC重合，
∴DF=AE，∠DCF=∠A，
∵∠ADC=∠ABC=90°
∴∠A+∠DCB=180°，
∴∠DCF+∠DCB=180°，
∴F、C、B三点共线，
∴S_{四边形ABCD}=S_{四边形DEBF}，
∵DE=DF，四个角都为90度，
∴四边形DEBF是正方形，
∴DE²=12，
∴DE=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了正方形的性质．