Question

1．已知抛物线p：y=x²-（k+1）x+$\frac{3k}{2}$-1和直线l：y=kx+k²：
（1）对下列命题判断真伪，并说明理由：
①无论k取何实数值，抛物线p总与x轴有两个不同的交点；
②无论k取何实数值，直线l与y轴的负半轴没有交点；
（2）设抛物线p与y轴交点为C，与x轴的交点为A、B，原点O不在线段AB上；直线l与x轴的交点为D，与y轴交点为C₁，当OC₁=OC+2且OD²=4AB²时，求出抛物线的解析式及最小值．

Answer 1

分析 （1）①根据x²-（k+1）x+$\frac{3k}{2}$-1=0的解是抛物线与x轴的交点横坐标，对△的值进行判断即可；
②根据直线y=kx+k²，与y轴交点坐标是（0，k²），判断出无论k取何实数值k²≥0，直线与y轴的负半轴没有交点．
（2）根据OD²=4AB²，得到k²=4k²-16k+20，求出k的值，再根据k²=$\frac{3k}{2}$-1+2，求出k的值．

解答 解：（1）①正确，
∵x²-（k+1）x+$\frac{3k}{2}$-1=0的解是抛物线与x轴的交点横坐标，
由判别式△=（k+1）²-4（$\frac{3k}{2}$-1）=k²-4k+5=（k-2）²+1＞0，
∴无论k取何实数值，抛物线总与x轴有两个不同的交点；
②正确．
∵直线y=kx+k²，与y轴交点坐标是（0，k²），而无论k取何实数值k²≥0，
∴直线与y轴的负半轴没有交点．
（2）∵|OD|=|-k|，|AB|=$\sqrt{{k}^{2}-4k+5}$
∴OD²=4AB²，
即k²=4k²-16k+20，
解得，k=2或k=$\frac{10}{3}$
又∵OC₁=k²，OC=$\frac{3k}{2}$-1＞0，
∴k²=$\frac{3k}{2}$-1+2，
解得k=2或k=-$\frac{1}{2}$，
综上得k=2，
∴抛物线解析式为y=x²-3x+2，最小值为-$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了二次函数综合题，涉及函数与方程的关系、一元二次方程的解与二次函数与x轴交点的关系等，（1）要根据根的判别式与抛物线与x轴交点的关系解答，（2）根据OC₁=OC+2且OD²=4AB²，列方程解答，综合性较强．