Question

如图，已知△ABC中，AB比AC长5cm，BC的垂直平分线叫AB于D，交BC于E，△ACD的周长是25cm．
（1）求AB和AC的长度；
（2）当∠B=30°，DE=6cm时，求AD的长度．

Answer 1

考点：线段垂直平分线的性质,含30度角的直角三角形

专题：

分析：（1）根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BD=CD，然后求出△ACD的周长=AB+AC，再解关于AB、AC的二元一次方程组即可；
（2）在Rt△BDE中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出BD=2DE=12cm，则CD=BD=12cm，又AC+AD+DC=25cm，AC=10cm，即可求出AD的长．

解答：解：（1）∵DE垂直平分BC，
∴DB=DC．
∵AC+AD+DC=25cm，
∴AC+AD+BD=25cm，
即AC+AB=25cm．
又∵AB-AC=5cm，
设AB=xcm，AC=ycm．
根据题意，得

x+y=25 x-y=5

，
解得

x=15 y=10

，
故AB长为15cm，AC长为10cm；

（2）在Rt△BDE中，∵∠BED=90°，∠B=30°，DE=6cm，
∴BD=2DE=12cm，
∴CD=BD=12cm，
∵AC+AD+DC=25cm，AC=10cm，
∴AD=25-10-12=3（cm），
故AD长为3cm．

点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，解二元一次方程组，熟记性质并求出△ACD的周长=AC+BC是解题的关键．也考查了含30度角的直角三角形的性质．