Question

8．如图，在四边形ABDC中，AD=4，CD=3$\sqrt{2}$，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长是$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 过A作AE⊥AD交DC的延长线于E，由∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，推出A，B，D，C四点共圆，AC=BC，求得∠ADC=∠ABC=45°，得到△ADE是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得到AE=AD=4，∠E=45°，DE=$\sqrt{2}$AD=4$\sqrt{2}$，求得CE=DE-CD=$\sqrt{2}$，通过△ACE≌△ABD，于是得到BD=CE=$\sqrt{2}$．

解答 解：过A作AE⊥AD交DC的延长线于E，
∵∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，
∴A，B，D，C四点共圆，AC=AB，
∴∠ADC=∠ABC=45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AE=AD=4，∠E=45°，DE=$\sqrt{2}$AD=4$\sqrt{2}$，
∴CE=DE-CD=$\sqrt{2}$，
∵∠DAE=∠CAB=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ACE与△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠ADB=45°}\\{∠CAE=∠DAB}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△ABD，
∴BD=CE=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，四点共圆，正确的作出辅助线是解题的关键．