Question

9．在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，BC=6，P为直线AC上的一点（不与A、C重合），满足∠APB=60°，则CP=4$\sqrt{3}$或2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 画出符合条件的两种情况，解直角三角形求出AB和AC长，求出AP，即可求出答案．

解答 解：分为两种情况：①当P在AC上时，如图1，
∵在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，BC=6，
∴AB=$\frac{1}{2}$BC=3，由勾股定理得：AC=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∵∠APB=60°，
∴AP=$\frac{AB}{tan60°}$=$\sqrt{3}$，
∴CP=A-AP=3$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$；
②当P在CA延长线时，如图2，
此时CP=AC+AP=3$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$；
故答案为：$4\sqrt{3}$或$2\sqrt{3}$．

点评 本题考查了勾股定理，解直角三角形，含30度角的直角三角形的性质的应用，解此题的关键是能求出符合条件的所有情况，难度适中．