Question

18．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AB=5，BC=3．
（1）求弦AC的长；
（2）如果OE⊥AC，垂足为E，求OE的长；
（3）求tan∠ADC的值．

Answer 1

分析 （1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，再利用勾股定理计算出AC长即可；
（2）首先判定OE∥BC，可得△AOE∽△ABC，根据相似三角形的性质可得$\frac{OE}{BC}=\frac{AO}{AB}=\frac{1}{2}$，进而可得EO的长；
（3）根据同圆中，同弧所对的圆周角相等可得∠ADC=∠ABC，计算出∠ABC的正切值即可．

解答 解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵AB=5，BC=3，
∴由勾股定理可得AC=4；

（2）∵OE⊥AC，且∠ACB=90°，
∴OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC，
∴$\frac{OE}{BC}=\frac{AO}{AB}=\frac{1}{2}$，
∴$OE=\frac{1}{2}BC=\frac{3}{2}$；

（3）∵∠ADC=∠ABC，
∴$tan∠ADC=tan∠ABC=\frac{AC}{BC}=\frac{4}{3}$．

点评 此题主要考查了解直角三角形，以及勾股定理和圆周角定理，关键是掌握直径所对的圆周角是直角，同圆中，同弧所对的圆周角相等．